RELASI

Misal A dan B himpunan. Aturan yang menghubungkan anggota A dengan anggota B disebut relasi dari himpunan A ke himpunan B. Bila R suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B yang menghubungkan a A dengan b B, kita dapat menulisnya sebagai R: A B atau R: a b.
Himpunan A disebut daerah asal atau domain, himpunan B disebut daerah pasangan atau codomain, anggota himpunan B yang merupakan kelompok dari anggota A membentuk suatu himpunan yang disebut daerah hasil atau range. Jadi range suatu relasi adalah himpunan bagian dari codomain.

Jika A dan B adalah dua himpunan sembarang, maka suatu relasi R dari A ke B adalah sembarang subset dari A x B, termasuk himpunan kosong. yaitu:
. Relasi R dinyatakan sebagai :
R = {(a,b) / a berelasi dengan b}
= {(a b) / a R b}

Relasi R dari himpunan A ke himpunan B juga dikatakan sebagai relasi binair yaitu suatu cara untuk menentukan pasangan (a,b) dalam AxB, sehingga dikatakan “a berelasi dengan B ” atau a R b.
Jika “a tidak berelasi dengan B” ditulis
Domain (daerah asal) dari relasi R adalah himpunan dari semua elemen-elemen pertama dalam pasangan-pasangan terurut di dalam R, yaitu :

Jangkauan/range dari relasi R terdiri atas semua elemen-elemen kedua yang muncul dalam pasangan-pasangan terurut dalam R, yaitu :


Jadi domain suatu relasi dari A ke B ditulis D, merupakan himpunan bagian dari A yaitu D A dan jangkauan dari R ditulis E adalah himpunan bagian dari B, yaitu . E B

Contoh 1:
Diketahui : A= {1,2,3,4}, B={a,b,c}
Maka R = {(2,a),(3,c),(4,a)} adalah suatu relasi
Perhatikan bahwa
Domain dari R = D = {2,3,4}
Jangkauan dari R = E = {a,c}

Relasi Identitas
Relasi Identitas himpunan A ditulis IA atau ∆A adalah himpunan pasangan-pasangan (a,a) dengan Relasi identitas disebut relasi diagonal, sebab anggota-anggota dari relasinya merupakan diagonal dari diagram koordinatnya.

Relasi Kosong
Relasi kosong dari himpunan A ditulis ., adalah himpunan kosong dari AxA. Dimaksud relasi
Disini adalah himpunan kosong dari AxA.

Relasi Invers
Invers dari relasi R ditulis R-1 adalah suatu relasi dari himpunan B ke himpunan A, sedemikian sehingga tiap pasangan terurut pada R-1 jika urutan anggota-anggotanya dibalik merupakan anggota dari R. Jadi
R-1 = {(b,a)/(a,b) ϵ R}.
Misalkan relasi R pada A= {1,2,3} didefinisikan sebagai R= {(1,2),(1,3),(2,3)}Maka R-1 = {(2,1),(3,1),(3,2)}

Penyajian Relasi
a) Grafik
R suatu relasi dari A ke B. Himpunan A digambarkan pada sumbu mendatar x dan himpunan B digambarkan sumbu tegak Y yang memotong sumbu X di titik 0.
Misalkan R suatu relasi dari A = {1,2,3} ke B={a,b} dengan R ={(1,a),(1,b),(3,a)}
Relasi R dapat ditunjukkan dengan diagram koordinat AxB

b) Matriks
Misal R suatu relasi pada A. Jika A merupakan himpunan hingga, maka R dapat disajikan dalam bentuk matriks. Matriks M menyatakan relasi R dapat dibentuk misalkan mij elemen baris ke-I dan kolom ke-j dari M.

Contoh 2:
Tentukan relasi R pada I ={1,2,3,4} yang dinyatakan oleh matriks M berikut :
Jawab :
Karena m11 = m13 = m14 = m22 = m23 = m34 = m41 = m44 = 1
elemen-elemen lainnya bernilai 0.
Maka untuk R I x I adalah
R = {(1,1),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(3,4),(4,1),(4,4)}

c) Graf
Misal A himp. Sembarang yang berhingga. Relasi R yang didefinisikan pada A dinyatakan dalam graf. Graf G menyatakan relasi R diperoleh dengan menggambarkan:
• Setiap elemen dari A sebagai titik
• Apabila I dan j memenuhi I R j atau (i,j) ϵ R, maka diberi tanda anakpanah dari arah i ke j

Contoh 3:
Nyatakan relasi R dengan menggunakan Graf
A = {a,b,c,d,e,f}
R={(a,b),(a,c),(b,c),(c,a),(d,b),(e,e)}

Titik-titik a,b,c,d,d,e,f digambarkan pada bidang kertas, sembarang. Titik f tidak berelasi dengan titik manapun, maka dari itu tidak ada anak panah yang masuk maupun keluar.

Relasi Ekivalensi
Suatu relasi R dikatakan “ekivalensi” jika ia memiliki tiga sifat sekaligus, yaitu sifat refleksif, sifat asimetris dan sifat transitif.
1) R refleksif ( a ϵ A) a R a
2) R simetri  ( a, b ϵ A) a R b  b R a
3) R transitif  ( a,b,c A) a R b с ʌ b R c  a R c

Misal R adalah suatu relasi ekivalensi pada himp. A, kelas Ekivalensi dari himpunan A adalah himpunan semua unsure dari A yang berelasi dengan a dinyatakan sebagai Ma =[a] = {x/ (a,x) ϵ R}. Koleksi semua kelas ekivalensi dari A disebut Kuosien dari A oleh R ditulis A/R = {Ma / a ϵ A}

Pergandaan Relasi
Pergandaan dua relasi R dan S pada A, ditulis dengan RS, didefinisikan sebagai : (a,b) ϵ RS jika dan hanya jika dengan (a,c) ϵ R ʌ (c,b) ϵ S.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: